七下期末复习系列——综合训练（4）

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【例】如图1示，已知BC∥OA，∠B=∠A=120°

（1）说明OB∥AC成立的理由．

（2）如图2所示，若点E，F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．

（3）在（2）的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．

（4）在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA时，求∠OCA的度数．

【图文解析】

(1)简析：由BC∥OA，根据平行线的性质，得∠B+∠O=180°，所以∠O=180°﹣∠B=60°，则∠A+∠O=180°，根据平行线的判定即可得到OB∥AC；

具体过程如下：

∵BC∥OA，

∴∠B+∠O=180°，

∴∠O=180°﹣∠B=60°，

而∠A=120°，

∴∠A+∠O=180°，

∴OB∥AC；

(2)由OE平分∠BOF得∠BOE=∠FOE，又∠FOC=∠AOC，得∠EOF+∠COF=0.5∠AOB=30°，如下图示：

具体过程如下：

∵OE平分∠BOF，

∴∠BOE=∠FOE，

而∠FOC=∠AOC，

∴∠EOC＝∠EOF+∠COF

=0.5∠AOB=0.5×60°=30°，

即∠EOC=30°；

(3)由BC∥OA得到∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，加上∠FOC=∠AOC，则∠AOF=2∠AOC，所以∠OFB=2∠OCB，如下图示：

具体过程如下：

比值不改变．

∵BC∥OA，

∴∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，

∵∠FOC=∠AOC，

∴∠AOF=2∠AOC，

∴∠OFB=2∠OCB，

即∠OCB：∠OFB的值为1：2.

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(4)由OB∥AC得∠ACB+∠B＝180⁰，得到∠ACB＝180⁰－∠B＝60⁰.设∠AOC＝x，则∠OCB=x，根据平行线的性质得:∠OEB=∠AOE=∠EOC+∠AOC=30°+x，同时∠ACO＝60⁰－x,如下图示：

    当∠OEB=∠OCA时，得：30°+x=60°﹣x，解得x=15°，所以∠OCA=60°﹣x=45°．

（注意三角形内角和定理新人教版尚未学习，不可用）

具体过程如下：

设∠AOC的度数为x，

则∠OFB=2x，∠BCO＝x.

∵BC∥OA，∴∠OEB=∠AOE，

∴∠OEB=∠EOC+∠AOC=30°+x，

∵OB∥AC，∴∠ACB+∠B＝180⁰.

∴∠ACB＝180°-∠B＝60⁰.

而∠OCA=∠ACB-∠B＝60°-x，

∵∠OEB=∠OCA，

∴30°+x=60°-x，解得x=15°，

∴∠OCA=60°-x=60°-15°=45°．

【点评】熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．

 【拓展】在（3）的条件下，当∠AOC＝24⁰时，判断∠OEB与∠OCA的数量关系？

（答案：∠OEB＝1.5∠OCA）

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